Question

12．央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出表中数据．

x	4	5	7	8
y	2	3	5	6

（1）请画出表中数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．
（相关公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，画出散点图即可；
（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；
（3）由线性回归方程预测x=9时，$\stackrel{∧}{y}$=7．

解答 解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示：

（2）根据公式，计算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（4+5+7+8）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=4²+5²+7²+8²=154，
则$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{106-4×6×4}{154-4{×6}^{2}}$=1；
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=4-6=-2，
所以线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$=x-2，
（3）由线性回归方程可以预测，
燃烧烟花爆竹的天数为x=9时，雾霾天数为$\stackrel{∧}{y}$=9-2=7天．

点评 本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．