Question

已知函数f（x）=x²+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值．
（1）求实数m的所有取值组成的集合A；
（2）试写出f（x）在区间[-2，1]上的最大值g（m）；
（3）设h（x）=-

1

2

x2+

1

2

x+7，令F（m）=

g(m)，m∈A h(m)，m∈B

，其中B=∁_RA，若关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,补集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）问题等价于函数在区间[-2，1]上是单调函数，由二次函数可得-

m

2

≥1，或-

m

2

≤-2，解得不等式即可；
（2）分类讨论结合单调性可得：当 m≥4时g（m）=f（1）=m-3，当m≤-2时g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由题意可知F（m）=

m-3，m≥4 -2m，m≤-2 - 1 2 m2+ 1 2 m+7，-2＜m＜4

，问题等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，数形结合易得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值，
∴函数在区间[-2，1]上是单调函数，
又∵函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-

m

2

∴必有-

m

2

≥1，或-

m

2

≤-2，解得m≥4或 m≤-2，
∴实数m的所有取值组成的集合A={m|m≥4或 m≤-2}；
（2）当 m≥4时，-

m

2

≤-2，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（1）=m-3；
当m≤-2 时，-

m

2

≥1，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递减，
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由题意可知F（m）=

m-3，m≥4 -2m，m≤-2 - 1 2 m2+ 1 2 m+7，-2＜m＜4

，
关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，
作图可知实数a的取值范围为：a＞

57

8

或1＜a＜4

点评：本题考查二次函数区间的最值，涉及数形结合求函数的交点，属中档题．