Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c，若直线y=x-c与椭圆C在第一象限内的一个交点M满足∠F₁MF₂=2∠MF₁F₂，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  6

  -

  3

• B、

  3

  2

• C、

  6 - 3

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：在△MF₁F₂中，由正弦定理可得

2c

sin2θ

=

|MF2|

sinθ

=

|MF1|

sin3θ

=

2a

sinθ+sin3θ

，可得e=

c

a

=

2sinθcosθ

4sinθ-4sin3θ

=

1

2cosθ

，而cosθ=cos15°=

6 + 2

4

，即可得出．

解答： 解：如图所示，
设∠MF₁F₂=θ．
∵tan3θ=1，
∴θ=15°．
∴cos30°=2cos²15°-1，
∴cos15°=

6 + 2

4

．
在△MF₁F₂中，由正弦定理可得

2c

sin2θ

=

|MF2|

sinθ

=

|MF1|

sin3θ

=

2a

sinθ+sin3θ

，
∴e=

c

a

=

2sinθcosθ

4sinθ-4sin3θ

=

1

2cosθ

=

2

6 + 2

=

6 - 2

2

．
故选：D．

点评：本题考查了正弦定理、椭圆的定义及其性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．