题目内容
已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（1）当直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求a的值；
（2）若a∈Z，且xf（x）+g（x）＞0对一切x＞1恒成立，求a的最小值．
（1）当直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求a的值；
（2）若a∈Z，且xf（x）+g（x）＞0对一切x＞1恒成立，求a的最小值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：（1）利用导数的几何意义，结合直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，即可求a的值；
（2）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞
对一切x＞1成立．运用导数求出右边的最小值，即可求a的最小值．
（2）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于a＞
| xlnx+x |
| 1-x |
解答：
解：（1）设切点为（x0，y0），则
∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=
，
∵直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，
∴
=1，∴x0=1，∴切点为（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=
；
（2）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于
a＞
对一切x＞1成立，
记h（x）=
（x＞1），则h′（x）=
，
记m（x）=2+lnx-x（x＞1），则m′（x）=
-1＜0，
∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上单调递减，
∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，
∴?x0∈（3，4），使得m（x0）=0
且x∈（1，x0），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x0）上单调递增；
x∈（x0，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，+∞）上单调递减；
∴h（x）min=h（x0）=
，
∵m（x0）=0，∴2+lnx0-x0=0，∴lnx0=x0-2，
∴h（x0）=
=-x0，∴a＞-x0，
∵x0∈（3，4），∴-x0∈（-4，-3），
∵a∈Z，∴a的最小值为-3．
∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=
| 1 |
| x |
∵直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，
∴
| 1 |
| x0 |
代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=
| 1 |
| 2 |
（2）由题意x（lnx+a）+x-a＞0对一切x＞1成立等价于
a＞
| xlnx+x |
| 1-x |
记h（x）=
| xlnx+x |
| 1-x |
| 2+lnx-x |
| (1-x)2 |
记m（x）=2+lnx-x（x＞1），则m′（x）=
| 1 |
| x |
∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上单调递减，
∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，
∴?x0∈（3，4），使得m（x0）=0
且x∈（1，x0），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x0）上单调递增；
x∈（x0，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0，+∞）上单调递减；
∴h（x）min=h（x0）=
| x0lnx0+x0 |
| 1-x0 |
∵m（x0）=0，∴2+lnx0-x0=0，∴lnx0=x0-2，
∴h（x0）=
| x0lnx0+x0 |
| 1-x0 |
∵x0∈（3，4），∴-x0∈（-4，-3），
∵a∈Z，∴a的最小值为-3．
点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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