Question

3．设抛物线C₁：y²=2px（p＞0），点M在抛物线C₁上，且|FM|=10，若以线段FM为直径的圆C₂过点A（0，3），则圆心C₂到抛物线的准线的距离为（　　）

• A． 6
• B． 6或14
• C． 14
• D． 2或18

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|MN|=|FM|=10，求得M的横坐标，再由直角三角形的性质：斜边的中线为斜边的一半，以及中点坐标公式可得圆C₂的圆心为（5，3），求得M（10-$\frac{p}{2}$，6），代入抛物线的方程，解得p的值，即可得到所求距离．

解答 解：抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
准线为l：x=-$\frac{p}{2}$，
由|FM|=10，由抛物线的定义可得|MN|=|FM|=10，
即有x_M+$\frac{p}{2}$=10，即x_M=10-$\frac{p}{2}$，
以线段FM为直径的圆C₂过点A（0，3），
连接AM，AF，可得|AC₂|=$\frac{1}{2}$|FM|=5，
可得圆C₂的圆心为（5，3），
由中点坐标公式可得M（10-$\frac{p}{2}$，6），
代入抛物线的方程可得36=2p（10-$\frac{p}{2}$），
解得p=2或18．
则圆心C₂到抛物线的准线的距离为5+$\frac{p}{2}$
=5+1=6或5+9=14．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，考查直角三角形的性质：斜边的中线为斜边的一半，考查运算能力，属于中档题．