Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=

1

2

AD=2，PA=PB=PC=2．
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，直线PB与平面AED交于点F，求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AC的中点为O，连接PO、OB，证明PO⊥CD，AC⊥CD，即可证明：CD⊥平面PAC；
（2）利用V_P-AEF=V_A-PEF=

1

4

VA-PBC=

1

4

V_P-ABC=

1

4

×

1

3

×S_△ABC×PO，即可求三棱锥P-AEF的体积．

解答： （1）证明：设AC的中点为O，连接PO、OB，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴PO⊥OB，由AC与OB相交可知PO⊥平面ABC，
∴PO⊥CD．
在直角梯形ABCD中，AC=CD=2

2

，
∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥CD
∵AC∩PO=O，
∴CD⊥平面PAC；
（2）解：∵AD∥BC，BC?平面ADE，AD?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
∵BC?平面PBC，平面BC∩平面ADE=EF，
∴BC∥EF，
∵E为PC的中点，
∴EF平行且等于

1

2

BC，
∴V_P-AEF=V_A-PEF=

1

4

VA-PBC=

1

4

V_P-ABC=

1

4

×

1

3

×S_△ABC×PO．
在△ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2．
∵AC=2

2

，
∵PA=PC=2，O为AC中点，
∴在△POC中，PO=

PC2-OC2

=

2

，
∴V_P-AEF=

1

4

×

1

3

×2×

2

=

2

6

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥P-AEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题．