Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x）是以4为周期的周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=

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2

x，求当x∈[-1，3）时，f（x）的表达式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替换x，结合函数周期性的定义和已知条件，不难得到f（x）是以4为一个周期的周期函数．
（2）根据函数在[0，1]上的表达式结合函数为奇函数，可得当-1≤x≤0时，f（x）=

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2

x．再设1＜x≤3，则得f（x-2）=

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（x-2）=-f（x）， 从而可得f（x）在区间（1，3]上的表达式，综上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．

解答： 解：（1）由题意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期为4，
（2）解  当0≤x≤1时，f（x）=

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x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

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（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-

1

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x，即f（x）=

1

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x．
故f（x）=

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x（-1≤x≤1）
再设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，
∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），
可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
综上所述，f（x）在[-1，3]的解析式为：f（x）=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x≤3

点评：本题以分段函数为例，求函数的周期并求函数的解析式，着重考查了函数的奇偶性、周期性，属于基础题．