Question

5．已知函数f（x）=ae^x-x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae^x-x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，等价于ae^x-x≥e^-x恒成立，分离参数a，可得$a≥\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$恒成立．令g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ae^x-x，得f′（x）=ae^x-1，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae^x-x为R上的减函数；
当a＞0时，令ae^x-1=0，得x=lna，
若x∈（-∞，-lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；
若x∈（-lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．
综上所述，当a≤0时，f（x）=ae^x-x为R上的减函数；
当a＞0时，若x∈（-∞，-lna），f（x）为的单调减函数；
若x∈（-lna，+∞），f（x）为的单调增函数．
（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立，等价于ae^x-x≥e^-x恒成立，
即x∈[1，2]，$a≥\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$恒成立．
令g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1}{{e}^{2x}}+\frac{x}{{e}^{x}}$，函数y=$\frac{1}{{e}^{2x}}$在[1，2]上单调递减，
令h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈[1，2]，h′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}≤0$．
∴h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，
∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^-x恒成立的实数a的取值范围是[$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．