Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（{sin（ωx+φ），2}）$，$\overrightarrow b=（{1，cos（ωx+φ）}）$，$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{4}）$，函数$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点$M（1，\frac{7}{2}）$
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义，正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的图象经过点M，求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）依题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}$=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ）+3，
由题可知，$\frac{T}{4}=1$，∴T=4，∴由$T=\frac{2π}{2ω}=4$得$ω=\frac{π}{4}$．
又∵函数f（x）经过点$M（1，\frac{7}{2}）$，∴$-cos（\frac{π}{2}•1+2φ）+3=\frac{7}{2}$，∴$cos（\frac{π}{2}+2φ）=-\frac{1}{2}$，
∵$0＜φ＜\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{2}+2φ=\frac{2π}{3}$，即$φ=\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=$-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}）+3$．
（Ⅱ）先将函数y=f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）+3图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，
可得y=-cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）+3的图象；
再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=$g（x）=-cos（{\frac{1}{2}（x-m）+\frac{π}{6}}）$
=$-cos（\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m+\frac{π}{6}）$ 的图象．
∵函数g（x）关于原点对称，∴函数g（x）为奇函数，即$-\frac{1}{2}m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
∴$m=-2kπ-\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
∵m＞0，∴当k=-1时，m的最小值为$\frac{4π}{3}$，
∴综上所述，实数m的最小值为$\frac{4π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦函数的周期性、奇偶性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．