Question

如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的．有如下结论：
①∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；
②∠A₁C₁D=∠A₁C₁D₁+∠D₁C₁D；
③A₁C₁与BC₁所成的角是30°；
④若BC=m，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛

1

6

m3的水．
其中正确的结论是

 

（请填上你所有认为正确结论的序号）．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：①利用正方体的各个面是正方形的性质即可得出；
②通过正方体计算，即可判断；
③利用对角面的性质、表面对角线组成的△A₁C₁D是等边三角形即可求出；
④题目中的图形一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥C₁-B₁CD₁的体积．

解答： 解：补全正方体如图所示：
①在正视图的等腰直角三角形DC₁D₁中，∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，故①正确；
②由于∠A₁C₁D=60°，∠A₁C₁D₁+∠D₁C₁D=45°+45°=90°，
故②错；
③连接A₁D．∵A₁D=A₁C₁=DC₁，∴△A₁C₁D是正三角形．
故∠A₁C₁D=60°．即∠A₁C₁D的真实度数是60°，故③错；
④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是
三棱锥C₁-B₁CD₁的体积．
又V C1-B1D1C=V C-B1C1D1=

1

3

×

1

2

×1•1•1=

1

6

（m³）．
∴用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛

1

6

m³体积的水，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台．熟练掌握正方体对角面、表面对角线的性质及三棱锥的体积计算公式是解题的关键．