Question

16．已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项s_n．

Answer 1

分析 （1）等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入b_n=na_n，求出b_n，利用错位相减法求出T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由题意知：2（a₃+2）=a₂+a₄，
∴q³-2q²+q-2=0，即（q-2）（q²+1）=0．
∴q=2，即a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和S_n，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．