Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=3ⁿ+2n+1求数列的通项公式．

Answer 1

分析 由递推式利用累加法即可求得a_n，注意检验n=1时的情形．

解答 解：由题意可得a₂-a₁=3+2+1，
a₃-a₂=3²+2×2+1，
a₄-a₃=3³+2×3+1，
…
a_n-a_n-1=3^n-1+2（n-1）+1，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=（3¹+3²+…+3^n-1）+2（1+2+3+…+n-1）+（n-1）×1，
=$\frac{3×（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$+2×$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$+（n-1）=$\frac{1}{2}$×3ⁿ-$\frac{3}{2}$+n（n-1）+（n-1）=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{5}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{3}{2}$，
当n=1时成立，
故a_n=$\frac{1}{2}$×3ⁿ+n²-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查由数列递推式求数列通项，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，注意其使用特征．