Question

15．等比数列{a_n}中，首项a₁=2，公比q=3，a_n+a_n+1+…+a_m=720（m，n∈N^*，m＞n），则m+n=9．

Answer 1

分析 由题意可得，3^n-1（3^m-n+1-1）=9×80=3²×5×2⁴，则可得3^n-1=9可求n然后求解m即可．

解答 解：由题意等比数列{a_n}中，首项a₁=2，公比q=3，a_n+a_n+1+…+a_m=720（m，n∈N^*，m＞n），
由等比数列的求和公式可得，$\frac{2（1-{3}^{m}）}{1-3}$-$\frac{2（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=720
∴3^m-3^n-1=720
∴3^n-1（3^m-n+1-1）=9×80=3²×5×2⁴
则3^n-1≠5×16
∴3^n-1=9
∴n=3，
3^m-3+1-1=5×16
解得m=6．
m+n=9．
故答案为：9．

点评 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题的关键是由3^n-1（3^m-n+1-1）=9×80=3²×5×2⁴分析出3^n-1≠5×16，是解题的关键．