Question

4．设函数f（x）=x³+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ-η＜1时，关于函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+（b+2）x+（c-b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（　　）

• A． 至少有一个零点
• B． 至多有一个零点
• C． 可能存在2个零点
• D． 可能存在3个零点

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=x³+bx+c=（x-η）（x-ξ）²，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ²=b，-ηξ²=c，且x∈（-2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间（η+1，ξ+1）内h′（x）＜0，则答案可求．

解答 解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，
∴f（x）=x³+bx+c=（x-η）（x-ξ）²，
即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ²=b，-ηξ²=c，且x∈（-2ξ，ξ），
由0＜ξ-η＜1，得0＜ξ$＜\frac{1}{3}$，$-\frac{2}{3}＜$η＜0，
则g′（x）=x²-3x+（b+2）+$\frac{c-b+η}{x}$=$\frac{{x}^{3}-3{x}^{2}+（b+2）x+c-b+η}{x}$，
令h（x）=x³-3x²+（b+2）x+c-b+η=x³-3x²+（2-3ξ²）x+2ξ³+3ξ²-2ξ
=（x-1）³-（1+3ξ²）（x-1）+2ξ²-2ξ，
则h′（x）=3（x-1）²-（3ξ²+1），当x∈（-2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（-2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ-1）＜0．
∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，
而h（-2ξ+1）=-8ξ³+2ξ（3ξ²+1）+（2ξ³-2ξ）=0，当x∈（-2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（-2ξ+1）=0，
即当x∈（-2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜0，
∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了方程的根与函数的零点问题，是压轴题．