Question

5．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$，点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）写出曲线C的参数方程，并求曲线C在点（1，1）处的切线的极坐标方程；
（2）若点N为曲线C上的动点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：x²+y²=2．设曲线C在点（1，1）处的切线的方程为y=k（x-1）+1．利用圆的切线的性质、点到直线的距离公式即可得出．再化为极坐标方程即可得出．
（2）点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），可得|OM|=2$\sqrt{2}$．即可得出|MN|的取值范围是[|OM|-r，|OM|+r]．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：x²+y²=2．
设曲线C在点（1，1）处的切线的方程为y=k（x-1）+1．
则$\frac{|1-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，化为：（k+1）²=0，解得k=-1．
∴切线方程为：x+y-2=0．
化为极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ=2．
（2）点M的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），∵|OM|=2$\sqrt{2}$．
∴|MN|的取值范围是$[\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．