Question

17．在如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，侧面BEC为正三角形，且平面BEC⊥平面ABCD．
（1）在CD上是否存在一点F，使得BC∥平面AEF；
（2）求直线AE与平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）CD的中点F，使得BC∥平面AEF，利用已知条件结合线面平行的判定即可证明；
（2）取BC中点O，由侧面BEC为正三角形，得EO⊥BC，又平面BEC⊥平面ABCD，可得EO⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过O作Ox∥AB，作Oy⊥AB，建立如图所示空间直角坐标系，利用$\overrightarrow{EA}$与平面BEC的法向量所成角的余弦值可得直线AE与平面BEC所成角的正弦值．

解答 解：（1）如图，CD的中点F，使得BC∥平面AEF．
事实上：∵底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，CD⊥AD，
∴AB∥CD，又AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴取CD中点F，连接AF，EF，则AB=FC，
∴四边形ABCF为平行四边形，则BC∥AF，
又AF?平面AEF，BC?平面AEF，
∴BC∥平面AEF；
（2）取BC中点O，∵侧面BEC为正三角形，
∴EO⊥BC，又平面BEC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
在平面ABCD内，过O作Ox∥AB，作Oy⊥AB，建立如图所示空间直角坐标系．
∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，∴BC=$2\sqrt{2}$，则OE=$\sqrt{6}$，
∴O（0，0，0），E（0，0，$\sqrt{6}$），B（1，1，0），A（3，1，0）．
则$\overrightarrow{EA}=（3，1，-\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{OE}=（0，0，\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{OB}=（1，1，0）$．
设平面BEC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，则x=1．
∴$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$．
设直线AE与平面BEC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EA}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{3×1-1×1}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}+（-\sqrt{6}）^{2}}•\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解线面角问题，是中档题．