Question

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且b＜a＜c，满足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减．
（1）证明：b，a，c成等差数列；
（2）若f（

π

9

）=cosA，且a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a；
（2）利用函数的周期求出ω，通过f（

π

9

）=cosA，求出A，由余弦定理可解得b，c的值，从而由三角形面积公式即可得解．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=sin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
所以sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a，即有b，a，c成等差数列．…（6分）
（2）由题意知：由题意知：

2π

ω

=

4π

3

，解得：ω=

3

2

，…（8分）
因为f（

π

9

）=sin

π

6

=

1

2

=cosA，A∈（0，π），所以A=

π

3

…（9分）
由余弦定理知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因为b+c=2a，所以b²+c²-（

b+c

2

）²=bc，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
所以可解得：b=c=2，从而有：S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．