Question

如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．
（1）证明：PC=PD；
（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；
（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．

解答： 证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，
∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵PE⊥AB
∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，
∴∠FGA+∠DAB=90°，
∴∠FGA=∠DBA．
∵∠FGA=∠DGP，
∴∠DGP=∠PDA，
∴∠DGP=∠PDG，
∴PG=PD；
（2）连接AE，则
∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，
∴AE=AC=BD，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠DEA=∠DBA，
∴△BDA≌△EAD，
∴DE=AB，
∴DE为圆的一条直径，
∴线段AB与DE互相平分．

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础．