题目内容
已知M、N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：
（1）MN和CD′所成的角；
（2）MN和AD所成的角．
（1）MN和CD′所成的角；
（2）MN和AD所成的角．
考点：异面直线及其所成的角
专题：空间角
分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN和CD′所成的角．
（2）设MN和AD所成的角为α，则cosα=
，由此能求出MN和AD所成的角．
（2）设MN和AD所成的角为α，则cosα=
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| ||||
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解答：
解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，
则M（2，2，1），N（1，2，2），
C（0，2，0），D′（0，0，2），
=（-1，0，1），
=（0，-2，2），
设MN和CD′所成的角为θ，
cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
=
，
∴θ=60°，
∴MN和CD′所成的角为60°．
（2）A（2，0，0），D（0，0，0），
=（2，0，0），
设MN和AD所成的角为α，
则cosα=
=
=
，
∴α=45°，
∴MN和AD所成的角为45°．
解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，
则M（2，2，1），N（1，2，2），
C（0，2，0），D′（0，0，2），
| MN |
| CD′ |
设MN和CD′所成的角为θ，
cosθ=|cos＜
| MN |
| CD′ |
| ||||
|
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| 2 | ||||
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| 1 |
| 2 |
∴θ=60°，
∴MN和CD′所成的角为60°．
（2）A（2，0，0），D（0，0，0），
| DA |
设MN和AD所成的角为α，
则cosα=
|
| ||||
|
|
| 2 | ||
2
|
| ||
| 2 |
∴α=45°，
∴MN和AD所成的角为45°．
点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．解题时要注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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给出下列四个结论：
若关于x的方程ax3-3x2+1=0正实数解有且仅有一个，则实数a的取值范围是（ ）
| A、{a|a≤0} |
| B、{a|a≤0或a=2} |
| C、{a|a≥0} |
| D、{a|a≥0或a=-2} |