Question

已知为实数，数列满足，当时，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，当时，求证：(6分)

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）根据题意可得当时，成等差数列，当时，，可见由得出前项成等差数列，项以后奇数项为，偶数项为，这样结合等差数列的前项公式就可求出;（Ⅱ）以和为界对进行分类讨论，当时，显然成立;当时，由题中所给数列的递推关系，不难得到;当时，得，可转化为当时的情况，命题即可得证; （Ⅲ）由可得，根据题中递推关系可得出，进而可得出=，又，由于要对分奇偶性，故可将相邻两整数当作一个整体，要证不等式可进行适当放缩，要对分奇偶性，并结合数列求和的知识分别进行证明即可．
试题解析：（Ⅰ）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而= (3分)
=.       (5分)
（Ⅱ）证明：①若,则题意成立                 (6分)
②若,此时数列的前若干项满足,即.
设,则当时,.
从而此时命题成立                    (8分)
③若,由题意得,则由②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立                   (10分)
（Ⅲ）当时，因为,
所以=       (11分)
因为>0,所以只要证明当时不等式成立即可.
而
             (13分)
①当时,
  (15分)
②当时,由于>0,所以<
综上所述,原不等式成立                      (16分)