Question

若函数f（x）在给定的区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的“t型增函数”．已知函数f（x）=x+

a

x

是定义在（1，+∞）上的“2012型增函数”，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，对参数a的取值情形进行讨论，分为：a≤0和a＞0两种情形进行讨论，然后，结合“t型增函数”这个概念进行求解．

解答： 解：当a＜0时，函数可化为f（x）=x-

|a|

x

，
当x增大时，y也增大，所以符合条件，
当a=0时，函数可化为y=x，该函数显然成立；
当a＞0时，结合对勾函数的单调性可知

a

≤1，
解得0＜a≤1，
综上实数a的取值范围是（-∞，1]，
故答案为（-∞，1]

点评：本题重点考查函数的单调性，对勾函数的单调性问题，属于函数中热点问题．