Question

有下列五个命题：
①函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；
②函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（2，4）；
③已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-8；
④已知2^a=3^b=k（k≠1）且

1

a

+

2

b

=1，则实数k=18；
⑤函数y=log

1

2

(-x2-2x+3)的单调递增区间为（-1，+∞）．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①运用指数函数的图象过点（0，1）；②运用图象平移规律；③根据函数的奇偶性定义；④根据对数的概念和运算法则；⑤应用复合函数的单调性规律：同增异减．

解答： 解：①令x-1=0则x=1，f（1）=a⁰+3=1+3=4，故图象一定过点（1，4），故①对；
②因为将y=f（x-1）的图象向左平移1个单位得到y=f（x）的图象，又函数f（x-1）的定义域是（1，3），
所以函数f（x）的定义域为（0，2），故②错；
③因为f（x）=x⁵+ax³+bx-8，令F（x）=f（x）+8=x⁵+ax³+bx，F（-x）=-x⁵-ax³-bx=-F（x），所以F（x）是奇函数，F（-2）+F（2）=0，即f（-2）+f（2）+16=0，又f（-2）=8，所以f（2）=-24，故③错；
④因为2^a=3^b=k（k≠1）所以a=log₂k，b=log₃k，又

1

a

+

2

b

=1，所以log_k2+2log_k3=1，即log_k18=1，k=18，
故④对；
⑤令z=-x2-2x+3（z＞0）则y=log

1

2

z在（0，+∞）上单调减，又z在（-3，-1）上单调增，在（-1，1）上单调减，由复合函数的单调性：同增异减，得函数的增区间为（-1，1）．故⑤错．
故答案为：①④

点评：本题是多选填空题，必须对每一个加以判断．本题主要考查了函数的两个性质--单调性和奇偶性及应用，主要是考查复合函数的单调性，以及图象平移等，这里特别注意对数的真数必须大于0，同时还考查了对数的概念和换底公式和运算，本题属于基础题．