Question

（1）求不等式|2x+1|-|x-2|＞2的解集；
（2）不等式|2x+1|-|x-2|≥t²-

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2

t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）分x＜-

1

2

、-

1

2

≤x＜2与x≥2三类讨论，去掉绝对值不等式中的绝对值符号，转化为相应的一次不等式，分别解之，最后取并即可；
（2）令f（x）=|2x+1|-|x-2|，通过对自变量x分x＜-

1

2

、-

1

2

≤x＜2与x≥2三类讨论，可求得f（x）_min=-

5

2

；依题意，解不等式t²-

11

2

t≤f（x）_min=-

5

2

，即可求得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）当x＜-

1

2

时，|2x+1|-|x-2|＞2?-x-3＞2，解得：x＜-5；
当-

1

2

≤x＜2时，|2x+1|-|x-2|＞2?3x-1＞2，解得：1＜x＜2；
当x≥2时，|2x+1|-|x-2|＞2?x+3＞2，解得：x≥2；
综上所述，不等式|2x+1|-|x-2|＞2的解集为{x|x＜-5或x＞1}．
（2）当x＜-

1

2

时，f（x）=|2x+1|-|x-2|=-x-3，为区间（-∞，-

1

2

）上的减函数，
所以：f（x）_min=-（-

1

2

）-3=-

5

2

；
当-

1

2

≤x＜2时，f（x）=|2x+1|-|x-2|=3x-1∈（-

5

2

，5）；
当x≥2时，f（x）=|2x+1|-|x-2|=x+3＞5；
综上所述，f（x）∈[-

5

2

，+∞），所以f（x）_min=-

5

2

；
因为不等式|2x+1|-|x-2|≥t²-

11

2

t恒成立，
所以t²-

11

2

t≤f（x）_min=-

5

2

，解得

1

2

≤t≤5，
即实数t的取值范围为[

1

2

，5]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与恒成立问题，（2）中求得f（x）_min=-

5

2

是关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题．