Question

直角坐标系xOy中，一动点P到F（2

2

，0）距离与P点到直线L：x=3

2

的距离之比为

6

3

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）是否存在直线l：y=kx-2（k≠0）使直线l与动点P的轨迹相交于不同的两点M，N且|

AM

|=|

AN

|，其中A（0，2）．若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由动点P到F（2

2

，0）距离与P点到直线L：x=3

2

的距离之比为

6

3

．可得

(x-2 2 )2+y2

|x-3 2 |

=

6

3

，化简即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），直线MN的方程为：y=kx-2．由|

AM

|=|

AN

|可知：点A在线段MN的垂直平分线上，与椭圆方程联立化为（1+3k²）x²-12kx=0，k≠0，△＞0，利用根与系数的关系及中点坐标公式可得P(

12k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．由于AP⊥MN，k_AP•k=-1，解得即可．

解答： 解：（1）∵动点P到F（2

2

，0）距离与P点到直线L：x=3

2

的距离之比为

6

3

．
∴

(x-2 2 )2+y2

|x-3 2 |

=

6

3

，
化为

x2

12

+

y2

4

=1，为椭圆．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），直线MN的方程为：y=kx-2．
由|

AM

|=|

AN

|可知：点A在线段MN的垂直平分线上，
联立

y=kx-2 x2+3y2=12

，化为（1+3k²）x²-12kx=0，k≠0，△＞0，
∴x₁+x₂=

12k

1+3k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

，y₀=kx₀-2=

-2

1+3k2

．
∴P(

12k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．
∴直线AP的斜率为k₁=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-3k2

2k

，
∵AP⊥MN，∴

-2-3k2

2k

×k=-1，
∴k²=

1

3

，解得 k=±

3

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、线段的垂直平分线方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．