Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F，直线l：y=kx+d不过点F，且与双曲线的右支交于点P、Q，若∠PFQ的外角平分线与l交于点A，则点A的横坐标为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用双曲线的第二定义可得焦半径公式，可得|PF|，|QF|，利用外角平分线性质，化简整理计算可得结论．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F（c，0），离心率为e=

c

a

，
∵F为右焦点，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在右支，
∴由双曲线的第二定义得到，e=

|PF|

d1

=

|QF|

d2

．
即有|PF|=ex₁-a，|QF|=ex₂-a，
设∠PFQ的外角平分线与l交于点A（m，n），
∴

|PA|

|QA|

=

|PF|

|QF|

，即有

x1-m

x2-m

=

ex1-a

ex2-a

，
化简可得a（x₁-x₂）=em（x₁-x₂），
∴m=

a

e

=

a2

c

=

a2

a2+b2

，
即点A的横坐标为

a2

a2+b2

．
故答案为：

a2

a2+b2

．

点评：本题考查双曲线的第二定义和性质，考查外角平分线性质，考查学生的计算能力，属于中档题．