Question

已知函数f（x）=x³-ax（其中a是实数），且f′（1）=3．
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用f′（1）=3，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数在区间[0，2]上的最大值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x³-ax，则可得f′（x）=3x²-a，
∵f′（1）=3，∴3-a=3，∴a=0
又当a=0时，f（x）=x³，∴f（1）=1，
所以，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2．
（2）由于f′（x）=3x²≥0，
则f（x）在（0，2）上f′（x）＞0，即f（x）在[0，2]上为增函数，
∴f（x）_max=f（2）=8．

点评：本题考查导数知识的运用，考查切线方程，考查函数的最值，属于基础题．