Question

6．已知双曲线的一个焦点为（4，0），离心率为e=2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）写出该双曲线的渐进线方程，并求它的焦点（4，0）到另一条渐进线的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴，设双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，由题意可知：c=4，e=$\frac{c}{a}$=2，即可求得a，根据双曲线的性质即可求得b，求得双曲线方程；
（2）由双曲线的方程求得渐近线方程及另一个焦点，根据点到直线的距离公式即可求得焦点（4，0）到另一条渐进线的距离．

解答 解：（1）由双曲线的一个焦点为（4，0），即焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
由题意有：$c=4，e=\frac{c}{a}=2$，
∴$a=\frac{c}{2}=2，{b^2}={a^2}-{c^2}=16-4=12$，
∴双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$；
（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为：$y=±\sqrt{3}x$，
焦点（4，0）到渐近线$\sqrt{3}x-y=0$距离为：$d=\frac{{4\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴焦点（4，0）到另一条渐进线的距离2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式的应用，属于中档题．