Question

8．定义在R上的奇函数f（x），若当x＞0总有f′（x）＜2xf（x）+e${\;}^{{x}^{2}}$（e为自然对数的底数）成立，f（1）=e，则不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$的解集为（　　）

• A． （-∞，-1]∪（0，1]
• B． （-∞，-1]∪[0，1]
• C． （0，1]
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，求函数的导数，判断导数g′（x）的范围，再次构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，判断计算的单调性，将不等式进行转化是解决本题的关键．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{{x}^{2}}-2x{e}^{{x}^{2}f（x）}}{（{e}^{{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$，
∵当x＞0总有f′（x）＜2xf（x）+e${\;}^{{x}^{2}}$，
∴此时g′（x）=$\frac{f′（x）-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$＜$\frac{2xf（x）+{e}^{{x}^{2}}-2xf（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$=1，
则设F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，
则F′（x）=g′（x）-1＜0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{{x}^{2}}}$-x，为单调递减函数，且F（1）=$\frac{f（1）}{e}-1=\frac{e}{e}-1=1-1=0$，
则当x＞1时，F（x）＜F（1）≥0，不满足条件．
当0＜x≤1时，F（x）＞F（1）=0，成立，
当x≤-1时，F（x）≥F（1）≥0，成立，
当x=0时，f（x）=0，则不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$成立，
综上不等式f（x）≥xe${\;}^{{x}^{2}}$的解集为（-∞，-1]∪[0，1]，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数导数的关系，连续两次构造函数，判断函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．