Question

3．函数f（x）=2sinx+sin2x的值域是[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的值域，求导数计算极值和端点值，比较可得．

解答 解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos²x-1）=2（2cosx-1）（cosx+1），
令f′（x）=0可解得cosx=$\frac{1}{2}$或cosx=-1，
可得此时x=$\frac{π}{3}$，π或$\frac{5π}{3}$；
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=$\frac{π}{3}$，π或$\frac{5π}{3}$和边界点x=0中取到，
计算可得f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，f（π）=0，f（$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，f（0）=0，
∴函数的最小值为-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即函数的值域为[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．