Question

20．在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}=2$，若点P满足$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PC}$，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=4．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{BC}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开数量积得答案．

解答 解：如图，

∵AB=2，AC=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}=2$，且$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
=$-\frac{1}{3}×2-\frac{1}{3}×4+\frac{2}{3}×9$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法法则，是中档题．