Question

6．已知点P（5，3，6），直线l过点A（2，3，1），且一个方向向量$\overrightarrow l=（{1，0，-1}）$，则点P到直线l的距离为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{PA}$=（-3，0，-5），sin＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，即可求出点P（5，3，6）到直线l的距离．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{PA}$=（-3，0，-5），
∵$\overrightarrow l=（{1，0，-1}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{-3+5}{\sqrt{9+25}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{l}$，$\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{4}{\sqrt{17}}$
∵|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{34}$，
∴P（5，3，6）到直线l的距离为4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点P（5，3，6）到直线l的距离，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．