Question

4．已知f（x）=|x-2017|+|x-2016|+…+|x-1|+|x+1|+…+|x+2017|（x∈R），且满足f（a²-3a+2）=f（a-1）的整数a共有n个，g（x）=$\frac{{x}^{2}（{x}^{2}+{k}^{2}+2k-4）+4}{（{x}^{2}+2）^{2}-2{x}^{2}}$的最小值为m，且m+n=3，则实数k的值为0或-2．

Answer 1

分析 根据已知，可以求出函数为一个偶函数，则f（a²-3a+2）=f（a-1），可以转化为|a²-3a+2|=|a-1|，由绝对值的几何意义，我们可得a，即可求出n，m，进而化简函数，即可得出结论．

解答 解：根据绝对值的几何意义可知f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
则a²-3a+2=a-1，①或a²-3a+2=-（a-1），②，
由①得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，
即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3．
由②得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），
即（a-1）（a-1）=0，解得a=1．
综上a=1或a=3，
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴当a=2时，也满足要求，
则a的值有3个，即n=3，
∵m+n=3，∴m=0，
g（x）=$\frac{{x}^{2}（{x}^{2}+{k}^{2}+2k-4）+4}{（{x}^{2}+2）^{2}-2{x}^{2}}$=1+$\frac{{k}^{2}+2k-6}{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+2}$的最小值为m=0，可得k²+2k-6=-6，
∴k=0或-2
故答案为0或-2．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，及绝对值的几何意义，解答本题的技巧性较强，难度也比较大，其中分析出函数的奇偶性，从面将f（a²-3a+2）=f（a-1），转化为一个绝对值方程是解答本题的关键．