Question

20．数列{S_n}满足：S_n=n²+λn（λ∈R），且为单调递增数列．
（I）求实数λ的取值范围；
（Ⅱ）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁+a₄+a₆+a₉=40，求数列{a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）由数列{S_n}为单调递增数列及二次函数的性质可知-$\frac{λ}{2}$＜$\frac{3}{2}$，从而解得；
（Ⅱ）分类讨论以求得a_n=2n-1+λ，再由a₁+a₄+a₆+a₉=40可得λ=1；从而解得a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2²ⁿ=n•2²ⁿ⁺¹，从而利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（I）∵数列{S_n}满足：S_n=n²+λn（λ∈R），且为单调递增数列．
而二次函数y=x²+λx的图象对称轴为x=-$\frac{λ}{2}$，
故只需使对称轴在（1，2）中点值的左侧即可，
即-$\frac{λ}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
故λ＞-3；
（Ⅱ）①当n=1时，a₁=S₁=1+λ，
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+λn）-（（n-1）²+λ（n-1））
=2n-1+λ，
a₁=1+λ也满足a_n=2n-1+λ，
综上所述，数列{a_n}是以1+λ为首项，2为公差的等差数列；
且a_n=2n-1+λ，
又∵a₁+a₄+a₆+a₉=40，
∴a₅=10，
即10-1+λ=10，
故λ=1；
故a_n=2n，
故a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2²ⁿ=n•2²ⁿ⁺¹，
令数列{a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，
则T_n=1•2³+2•2⁵+3•2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹，
4T_n=1•2⁵+2•2⁷+3•2⁹+…+n•2²ⁿ⁺³，
两式作差可得，
3T_n=-2³-2⁵-2⁷-…-2²ⁿ⁺¹+n•2²ⁿ⁺³=（n-$\frac{1}{3}$）2²ⁿ⁺³+$\frac{8}{3}$，
故T_n=（$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{9}$）2²ⁿ⁺³+$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了函数在数列中的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了错位相减法的应用．