Question

17．已知实数x，y满足方程（x-2）²+（y-2）²=1．
（1）求$\frac{2x+y-1}{x}$的取值范围；
（2）求|x+y+l|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$\frac{2x+y-1}{x}$=2+$\frac{y-1}{x}$，$\frac{y-1}{x}$的几何意义为圆上动点与定点（0，1）的斜率，过（0，1）的直线与圆相切时，斜率取最值，即可求$\frac{2x+y-1}{x}$的取值范围；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•$$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的几何意义为圆上动点到直线x+y+1=0的距离，圆心到直线的距离加上半径长为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，即可求|x+y+l|的取值范围．

解答 解：（1）$\frac{2x+y-1}{x}$=2+$\frac{y-1}{x}$，$\frac{y-1}{x}$的几何意义为圆上动点与定点（0，1）的斜率，过（0，1）的直线与圆相切时，斜率取最值，因此$\frac{y-1}{x}$∈[0，$\frac{4}{3}$]，所以$\frac{2x+y-1}{x}$∈[2，$\frac{10}{3}$]；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•$$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的几何意义为圆上动点到直线x+y+1=0的距离，圆心到直线的距离加上半径长为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$∈[$\frac{5}{\sqrt{2}}$-1，$\frac{5}{\sqrt{2}}$+1]，所以|x+y+1|∈[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．