题目内容
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，$C=\frac{π}{3}$，a+b=1，则△ABC周长的最小值是（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{5}{4}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{9}{4}$ |
分析 由a+b及cosC的值，利用余弦定理表示出一个关系式，配方后利用基本不等式即可求出c的最小值，进而得到a+b+c的最小值．
解答 解：由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，
又a+b=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
所以c2=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-3（$\frac{a+b}{2}$）2=$\frac{1}{4}$，当且仅当b=a时取等号，
所以c的最小值为$\frac{1}{2}$，则a+b+c的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．
点评 此题考查学生灵活运用余弦定理及完全平方公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道基础题．本题注意利用不等式（ $\frac{a+b}{2}$）2≥ab来进行解答．
练习册系列答案
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17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，B=120°，则a等于（ ）
| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |