Question

18．已知函数f（x）=ax³+bx（a≠0）在x=1处取得极大值2，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+3lnx．
（I）函数f（x）在点（1，2）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）的图象恒在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，求出函数的导数即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+b，
∵函数f（x）在x=1处取得极大值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+b=0}\\{f（1）=a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=3，
故f（x）=-x³+3x，f′（1）=0，
故f（x）在（1，2）的切线方程是：y=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，
h′（x）=-2x-1+$\frac{3}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}-x+3}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），
则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
当x＞1时h'（x）＜0，
∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的单调性，是高考中常考的题型，属于中档题．