题目内容
14．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=$\frac{π}{3}$，M，N分别为A1C1与B1C的中点，且侧面ABB1A1⊥底面ABC．（Ⅰ）证明：MN∥平面ABB1A1
（Ⅱ）求三棱柱B1-ABC的体积．
分析 （Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，从而PN∥AB1，PM∥AA1，从而平面PMN∥平面AB1A1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．
（Ⅱ）连结PB，过B1作BO⊥平面ABC，推导出O是AB中点，由此能求出三棱柱B1-ABC的体积．
解答 证明：（Ⅰ）取AC中点P，连结PN，PM，
∵斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别为A1C1与B1C的中点，
∴PN∥AB1，PM∥AA1，
∵PM∩PN=P，AB1∩AA=A，
PM，PN?平面PMN，AB1，AA1?平面AB1A1，
∴平面PMN∥平面AB1A1，
∵MN?平面PMN，∴MN∥平面ABB1A1．
解：（Ⅱ）连结PB，过B1作BO⊥平面ABC，
∵斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=$\frac{π}{3}$，
M，N分别为A1C1与B1C的中点，且侧面ABB1A1⊥底面ABC．
∴△ABB1是边长为2的等边三角形，∴O是AB中点，∴B1O=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱B1-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×{B}_{1}O$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．
点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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5．下列说法中正确的是（ ）
| A． | 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 | |
| B． | “|a|＞|b|”与“a2＞b2”不等价． | |
| C． | “a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”． | |
| D． | 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． |
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD．
9．函数y=sin （2x+$\frac{π}{3}$）的图象可由函数y=cosx的图象（ ）
| A． | 先把各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | |
| B． | 先把各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，再向右平移$\frac{π}{12}$个单位 | |
| C． | 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | |
| D． | 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{12}$个单位 |
在如图所示的空间几何体中，EC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE=2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点．求证：
6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，α∩平面AB1C=m，平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，β∩平面ADD1A1=n，则m，n所成角的余弦值为（ ）
| A． | 0 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（2，$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l的渐近线为x=4．
4．已知m=$\frac{tan（α+β+γ）}{tan（α-β+γ）}$，若sin2（α+γ）=3sin2β，则m=（ ）
| A． | -1 | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 2 |