题目内容
4．在公差不为零的等差数列{an}中，其前n项和为Sn，已知a3=5，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求an和Sn；
（Ⅱ）记${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{a{\;}_2{a_3}}}+…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若${T_n}≥\frac{9}{{{S_{n+k}}}}$对任意正整数n恒成立，求正整数k的最小值．
分析 （Ⅰ）设{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（Ⅱ）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和可得Tn，运用参数分离和数列的单调性，可得最小值，即可得到正整数k的最小值．
解答 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，
由a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，
可得a22=a1a5，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=5\\{（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+4d）\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
∴an=2n-1，Sn=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n，
可得${S_n}={n^2}$；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}≥\frac{9}{{{{（n+k）}^2}}}$，
∴${（n+k）^2}≥9（2+\frac{1}{n}）$恒成立，
∴$k≥3\sqrt{2+\frac{1}{n}}-n$，
$记{c_n}=3\sqrt{2+\frac{1}{n}}-n$，则{cn}是递减数列，
∴$k≥{c_1}=3\sqrt{3}-1$，
∴kmin=5．
点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和数列的单调性，求得最值，属于中档题．
| A． | $\frac{2}{7}$ | B． | $\frac{3}{7}$ | C． | $\frac{4}{7}$ | D． | $\frac{5}{7}$ |
| A． | $\frac{{{2^{99}}-2}}{3}$ | B． | $\frac{{{2^{100}}-2}}{3}$ | C． | $\frac{{{2^{101}}-2}}{3}$ | D． | $\frac{{{2^{102}}-2}}{3}$ |
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
| A． | $-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i$ | B． | $-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i$ | C． | $-\frac{3}{2}+3i$ | D． | $-\frac{3}{2}-3i$ |