题目内容
12．已知F1，F2分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则椭圆的离心率是（ ）| A． | $\frac{2}{7}$ | B． | $\frac{3}{7}$ | C． | $\frac{4}{7}$ | D． | $\frac{5}{7}$ |
分析 不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a-|PF1|，2c成等差数列，从而得到|PF1|=$\frac{4a-2c}{3}$，|PF2|=$\frac{2a+2c}{3}$，由∠F1PF2=90°，得到|PF1|•|PF2|=$\frac{4a-2c}{3}•\frac{2a+2c}{3}$=2b2，由此能求出椭圆的离心率．
解答 解：∵F1，F2分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，
∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，
∴不妨设|PF2|＞|PF1|，|PF1|，2a-|PF1|，2c成等差数列，
∴2（2a-|PF1|）=|PF1|+2c，
∴|PF1|=$\frac{4a-2c}{3}$，|PF2|=2a-$\frac{4a-2c}{3}$=$\frac{2a+2c}{3}$，
∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，
又|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=4a2，
∴|PF1|•|PF2|=$\frac{4a-2c}{3}•\frac{2a+2c}{3}$=2b2，
整理，得5a2-7c2-2ac=0，
∴7e2+2e-5=0，
解得e=$\frac{5}{7}$或e=-1（舍）．
∴椭圆的离心率是$\frac{5}{7}$．
故选：D．
点评 本题考查椭圆离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、等差数列、勾股定理、一元二次方程等知识点的合理运用．
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