Question

已知函数f（x）=

mx

mx-1+m1-x

+a，（a∈R，m＞1），且f（0）=a+

2

5

．
（1）若f（1）=1，求实数a的值并计算f（-1）+f（3）的值；
（2）若不等式f（x）-2＞0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，设g（x）=f（x+b），是否存在实数b使g（x）为奇函数，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先由f（0）=a+

2

5

求得m的值．
（1）由f（1）=1求得a的值，然后把x=-1和x=3代入函数解析式作和后得答案；
（2）把不等式f（x）-2＞0对任意的x∈[2，+∞）恒成立转化为a＞

1

22x-3+ 1 2

对任意的x∈[2，+∞）恒成立，然后由函数的单调性求出

1

22x-3+ 1 2

的范围得答案；
（3）先有g（0）=0求得b的值，然后代入函数利用函数奇偶性的定义证明．

解答： 解：∵f（x）=

mx

mx-1+m1-x

+a，（a∈R，m＞1），且f（0）=a+

2

5

，
∴

m0

m-1+m

+a=a+

2

5

，即

1

m-1+m

=

2

5

，解得：m=2．
∴f（x）=

2x

2x-1+21-x

+a．
（1）若f（1）=1，则

2

20+20

+a=1，解得：a=0．
f（-1）+f（3）=

2-1

2-2+22

+

23

22+2-2

=

34

17

=2；
（2）不等式f（x）-2＞0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，等价于

2x

2x-1+21-x

+a-2＞0，即a＞

22-x

2x-1+21-x

=

1

22x-3+ 1 2

对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
当x∈[2，+∞）时，2^2x-3∈[2，+∞），22x-3+

1

2

∈[

5

2

，+∞)，
∴

1

22x-3+ 1 2

∈(0，

2

5

]．
∴a＞

2

5

；
（3）a=-1时，g（x）=f（x+b）=

2x+b

2x+b-1+21-x-b

-1，
若g（x）为奇函数，
∵函数g（x）的定义域为R，则g（0）=0，
即

2b

2b-1+21-b

-1=0，

2b

2b-1+21-b

=1，解得：b=1．
当b=1时，g（x）=

2x+1

2x+2-x

-1．
由g(-x)+g(x)=

2-x+1

2-x+2x

-1+

2x+1

2x+2-x

-1=

2(2x+2-x)

2x+2-x

-2=0，
得g（-x）=-g（x）．
∴g（x）为奇函数．
综上，存在实数b=1，使g（x）为奇函数．

点评：本题考查了函数解析式的求法，考查了利用函数的单调性求函数的最值，训练了数学转化思想方法，考查了函数奇偶性的判断，是压轴题．