Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{3}{2}$cos²x+$\frac{3}{2}{sin^2}$x+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期并写出函数f（x）图象的对称轴；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式以及辅助角公式化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，直接求函数f（x）最小正周期，利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间．
（2）通过区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]，求出单调性，由此可以得到函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-\frac{3}{2}{cos^2}x+\frac{3}{2}{sin^2}x+1$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}（{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}）+1$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x+1$
=$\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1$
函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$．
由函数f（x）图象可知函数f（x）图象的对称轴为$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\;k∈Z$．
（2）∵函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\;-\frac{π}{12}}]$上是减函数，
在区间$[{-\frac{π}{12}，\;\frac{π}{3}}]$上是增函数，
∴$f（{-\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1，\;f（{-\frac{π}{12}}）=-\sqrt{3}+1，\;f（{\frac{π}{3}}）=\frac{5}{2}$
∴函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\;-\frac{π}{12}}]$上的最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为$-\sqrt{3}+1$

点评 本题考哈三角函数的化简求值，尤其是利用单调性求最值．