Question

19．设函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且函数f（x）在x=A时取得最大值a，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式即可求得最小正周期．
（2）由三角形面积公式可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，由f（A）=a，结合范围，得到A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：4+bc=b²+c²，利用基本不等式可得bc≤4，即可得到三角形ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）在x=A时取得最大值a，
∴a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴4+bc=b²+c²≥2bc，
∴bc≤4，b=c=2时取等号，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考察了三角函数恒等变换的应用，周期公式，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式及正弦函数的图象和性质的应用，考察了计算能力和转化思想．