Question

17．设D、E为线段AB，AC上的点，满足AD=BD，AE=2CE，且$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，记α为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角，则下述判断正确的是（　　）

• A． cosα的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． cosα的最小值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值为$\frac{1}{2}$
• D． sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 运用向量的加减和向量共线，可得$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$²=0，设|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，运用基本不等式可得cosα的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由诱导公式和二倍角的余弦公式，即可得到所求最小值．

解答 解：$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，即为：
（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
由AD=BD，AE=2CE，可得：
AE=$\frac{2}{3}$AC，AD=$\frac{1}{2}$AB，
即有（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
即$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$²=0，
设|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，可得：
$\frac{4}{3}$cbcosα=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{2}{3}$b²，
由$\frac{1}{2}$c²+$\frac{2}{3}$b²≥2$\sqrt{\frac{1}{2}{c}^{2}•\frac{2}{3}{b}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cb，
当且仅当c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，取得等号．
即有$\frac{4}{3}$cbcosα≥$\frac{2}{\sqrt{3}}$cb，
即cosα≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得cosα的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故A，B不正确；
sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=2cos²α-1≥2×$\frac{3}{4}$-1=$\frac{1}{2}$，
即sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值为$\frac{1}{2}$，
故C正确；
sin（$\frac{π}{2}$-2α）=cos2α=2cos²α-1≥2×$\frac{3}{4}$-1=$\frac{1}{2}$，
即sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值为$\frac{1}{2}$，
故D不正确．
故选：C．

点评 本题考查向量的加减和数量积运算，考查三角函数的恒等变换，以及基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．