Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2m，x≥m}\\{-x，-m＜x＜m}\\{x+2m，x≤-m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤-m，f（x）的图象与x≥m-1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．

解答 解：由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2m，x≥m}\\{-x，-m＜x＜m}\\{x+2m，x≤-m}\end{array}\right.$，其中m＞0，
可得f（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1-2m，x≥m-1}\\{-x-1，-m-1＜x＜m-1}\\{x+1+2m，x≤-m-1}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），
由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，
只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，
由x≤-m，f（x）的图象与x≥m-1的图象重合，可得
2m=1-2m，解得m=$\frac{1}{4}$，
通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜$\frac{1}{4}$．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意转化为图象间的关系，通过平移，考查数形结合思想方法的运用，属于中档题．