Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，且对任意x∈（0，+∞）的，都有f[f（x）-lnx]=1，则函数g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在区间（　　）

• A、(

  5

  2

  ，3)
• B、(2，

  2

  5

  )
• C、（1，2）
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，求出f（x）=1+lnx，再求导，结合零点存在定理，即可得出结论．

解答： 解：设f（x）-lnx=m，则f（m）=1，
∴1-lnm=m，∴m=1，
∴f（x）=1+lnx，
∴g（x）=e^x-f（x）+1=e^x-lnx，
∴g′（x）=e^x-

1

x

，
∵g′（

1

2

）＜0，g′（1）＞0，
∴函数g（x）=e^x-f（x）+1的最小值必在区间（

1

2

，1）．
故选：D．

点评：本题考查函数的最值，考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．