Question

9．已知函数$f（x）={e^x}，g（x）=\frac{a}{x}$，a为实常数．
（1）设F（x）=f（x）-g（x），当a＞0时，求函数F（x）的单调区间；
（2）当a=-e时，直线x=m、x=n（m＞0，n＞0）与函数f（x）、g（x）的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．
求证：（m-1）（n-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的定义域，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（2）由题意可得该四边形为平行四边形等价于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．当a=-e时，$F（x）=f（x）-g（x）={e^x}+\frac{e}{x}（{x＞0}）$，求出导数，求得单调性，确定0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，即可得证．

解答 解：（1）$F（x）={e^x}-\frac{a}{x}$，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
而$F'（x）={e^x}+\frac{a}{x^2}$，
当a＞0时，F'（x）＞0，
故F（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞），无单调递减区间．                       
（2）证明：因为直线x=m与x=n平行，
故该四边形为平行四边形等价于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．
当a=-e时，$F（x）=f（x）-g（x）={e^x}+\frac{e}{x}（{x＞0}）$，
则$F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$．令$g（x）=F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$，
则 $g'（x）={e^x}+\frac{2e}{x^3}＞0$，
故$F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$在（0．+∞）上单调递增；                                      
而$F'（1）=e-\frac{e}{1^2}=0$，
故x∈（0，1）时F'（x）＜0，F（x）单调递减；x∈（1，+∞）时F'（x）＞0，F（x）单调递增；
而F（m）=F（n），
故0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，
所以（m-1）（n-1）＜0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和单调性，考查构造函数法和转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．