Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，$tanC=\frac{1}{2}$，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设条件及正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA，利用同角三角函数基本关系式可求$tanA=\frac{2}{3}tanC$，结合已知可求tanC，tanA，利用两角和的正切函数公式可求tanB，结合B的范围可求B的值．
（Ⅱ）由$tanA=\frac{1}{3}$，$tanC=\frac{1}{2}$，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinC的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）由题设条件及正弦定理，得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴$tanA=\frac{2}{3}tanC$；
∵$tanC=\frac{1}{2}$，
∴$tanA=\frac{1}{3}$，
∴$tanB=tan[{π-（{A+C}）}]=-tan（{A+C}）=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=-1$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{3}{4}π$．
（Ⅱ）在△ABC中，由$tanA=\frac{1}{3}$，$tanC=\frac{1}{2}$，
得$sinA=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由正弦定理，得$\frac{a}{{\frac{{\sqrt{10}}}{10}}}=\frac{5}{{sin\frac{3π}{4}}}$，
解得：$a=\sqrt{5}$，可得：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×5×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．