Question

已知点M（1，A），N（4，-A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）一个周期内图象上的两点，函数f（x）的图象与y轴交于点P，满足

PM

•

PN

=1．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)-

3

在区间[0，6]内的零点．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意求出函数周期，代入周期公式求得ω的值，再由f（1）=A结合φ的范围求得φ值，由x为0求出P的坐标，结合

PM

•

PN

=1求得A的值，则f（x）的表达式可求；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入y=f(x)-

3

，整理后由y=0直接求解在区间[0，6]内x的值．

解答： 解：（I）∵点M（1，A），N（4，-A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）一个周期内图象上的两点，
∴

T

2

=4-1=3，T=

2π

ω

=6，ω=

π

3

； 
由f（1）=A，得Asin(

π

3

+φ)=A，∴sin（

π

3

+φ）=1，
又-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

；
又f(0)=Asin

π

6

=

A

2

，∴P(0，

A

2

)，
∴

PM

=(1，

A

2

)，

PN

=(4，-

3

2

A)，
由

PM

•

PN

=1，得4-

3

4

A2=1，∴A=2．
∴f(x)=2sin(

π

3

x+

π

6

)；
（II）∵x∈[0，6]，∴

π

3

x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
∴y=f(x)-

3

=2sin(

π

3

x+

π

6

)-

3

，
由y=0，得sin(

π

3

x+

π

6

)=

3

2

，
∴

π

3

x+

π

6

=

π

3

或 

π

3

x+

π

6

=

2π

3

，
得x=

1

2

或x=

3

2

．
∴函数y=f(x)-

3

在区间[0，6]内的零点为

1

2

，

3

2

．

点评：本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数解析式的求法，训练了函数零点的求解方法，解答此题的关键是由题意得到周期，是中档题．