Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-4时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：

1

1 3 ln2+ 1 4

+

1

1 3 ln3+ 1 4

+

1

1 3 ln4+ 1 4

+…+

1

1 3 lnn+ 1 4

≥

(5n+8)(n-1)

(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0．f′（x）=

2(x+2)(x-1)

x

，由此能求出f（x）的极小值．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′（x）=

2x2+2x+a

x

，设g（x）=2x²+2x+a，由函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数a的取值范围．
：（Ⅲ）由（I）得，当x≥1时，f（x）=x²+2x-4lnx≥3，即x²+2x≥4lnx+3＞0，即

1

4lnx+3

≥

1

x2+2x

，即

1

4lnn+3

≥

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），进而利用裂项相消法，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0
f′（x）=

2(x+2)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-2（舍），或x=1，
列表，得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴f（x）的极小值f（1）=1+2-4ln1=3，
∵f（x）=x²+2x-4lnx，x＞0只有一个极小值，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），
∴f′（x）=

2x2+2x+a

x

，（x＞0），
设g（x）=2x²+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．
证明：（Ⅲ）由（I）得，当x≥1时，f（x）=x²+2x-4lnx≥3，
∴x²+2x≥4lnx+3＞0，
∴

1

4lnx+3

≥

1

x2+2x

，
∴

1

4lnn+3

≥

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

4ln2+3

+

1

4ln3+3

+

1

4ln4+3

+…+

1

4lnn+3

≥

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

），
∴

1

4ln2+3

+

1

4ln3+3

+

1

4ln4+3

+…+

1

4lnn+3

≥

(5n+8)(n-1)

12(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．
∴

1

1 3 ln2+ 1 4

+

1

1 3 ln3+ 1 4

+

1

1 3 ln4+ 1 4

+…+

1

1 3 lnn+ 1 4

≥

(5n+8)(n-1)

(n+1)(n+2)

（n≥2，n∈N）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．