Question

9．若a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展开式中x²项的二项式系数，则$\lim_{n→∞}（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}）$=2．

Answer 1

分析 （2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展开式，T_r+1，令r=2，可得a_n，再利用求和公式化简，利用数列的极限即可得出．

解答 解：（2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展开式，T_r+1=${C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{r}$，令r=2，可得：T₃=2^n-2${C}_{n}^{2}$x²．
∴a_n是二项式（2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数，
∴a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$．
则$\lim_{n→∞}（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$2$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$（2-\frac{2}{n}）$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查二项式定理的应用，数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．